G. EJ 4. ÁNGULO ENTRE UNA RECTA Y UN PLANO.

En el ejercicio que se nos ofrece, debemos calcular el ángulo entre unos elementos espaciales. El primer paso es determinar cuáles son dichos elementos. Estamos ante una recta que viene dada por dos ecuaciones y un parámetro, y un plano. Realizamos un dibujo esquemático de la situación (A PESAR DE QUE AÚN NO SABEMOS QUÉ POSICIÓN TIENEN EN EL ESPACIO). Para poder hallar el ángulo entre ambos elementos, lo que debemos hacer es calcular el vector normal del plano, es decir, el vector perpendicular a él, pues,a partir de ese vector, y con el vector director de la recta r, podremos saber el valor del ángulo beta. El ángulo beta es es que está entre el vector director de la recta y el vector normal del plano. No es el que queremos. Queremos el ángulo entre la recta y el plano, al que denominaremos ángulo alfa. No obstante, para obtener el ángulo alfa, tendremos que restar 90º(Que es el ángulo entre el vector normal y el plano, por definición) al resultado del ángulo beta. 

El vector normal se halla a partir de la ecuación del plano, pues corresponde a los valores de A, B, y C. 

El vector director, lo encontramos con las ecuaciones de la recta. Al estar con una forma implícita, no podemos saber cuál es el valor de dicho vector. Es por esto que debemos calcular la ecuación paramétrica, cuyos valores del parámetro "t" nos darán el valor del vector director. 

Una vez tenemos ambos vectores, se procede a realizar el producto escalar entre ambos, para buscar qué ángulo (beta) forman entre los dos. 

Al despejar beta del producto vectorial, nos da como resultado 90º. ¿Qué quiere decir esto? Significa que el valor del ángulo que está entre el vector normal del plano a la recta, son 90º. El vector normal también está a 90º del plano, por eso, el ángulo alfa, que es lo que nos pide el ejercicio, será 0. 

G.EJ3. POSICIÓN RELATIVA DE DOS PLANOS.

Como vemos, en este ejercicio se nos pide calcular la posición relativa entre esos planos. Resolvemos la matriz que queda con las ecuaciones de los tres planos por el método de Gauss. El resultado que obtenemos es de un sistema incompatible debido a que A y A* dan un resultado diferente, siendo 2 y 3, respectivamente. Debemos estudiar ahora los planos 2 a 2 para saber de qué manera se cortan entre ellos o si no lo hacen.

El resultado es que los planos 1 y 2 se cortan, al igual que los planos 1 y 3. No obstante, los planos 2 y 3 no se cortan entre sí. Veamos una representación gráfica, tras la imagen adjunta, con el programa "Geogebra". 

REPRESENTACIÓN GRÁFICA. GEOGEBRA.

G. EJ2. POSICIÓN RELATIVA DE DOS RECTAS.

Para la facilitación de la visualización de la posición relativa de las rectas que se exponen a continuación, se ha empleado el programa "Geogebra".
Una recta viene definida por dos ecuaciones con las cuales, al resolverse, se obtiene un parámetro. Siempre será sistema compatible indeterminado y por lo tanto su rango no podrá descender de 2.
Debemos resolver la matriz que viene dada por las 4 ecuaciones de las 2 rectas.
Al ser el rango de A distinto al de A ampliada, nos encontramos ante un caso de paralelismo. Recordemos aquí los casos posibles que hay:

1. Rg A=2; RgA*=3. Las rectas son paralelas. 
2. Rg A=3; RgA*=4. Las rectas son paralelas pero se cruzan en el espacio. 

Como vemos, es el segundo caso. Veamos cómo quedan representadas. 

(En la imagen aparece parte de otro ejercicio, pero no hagáis caso a ello, en el siguiente apartado lo pondré.)

Debido a que es más cómodo introducir en Geogebra las ecuaciones en forma continua, calcularemos la ecuación continua de ambas rectas:

REPRESENTACIÓN GRÁFICA. GEOGEBRA.

GEOMETRÍA. POSICIONES RELATIVAS.

En este ejercicio, calculamos la posición relativa de los planos para los diferentes valores del parámetro "m". Para ello, debemos calcular primero para qué valores de m se anula el determinante. Como observamos, son 1 y -2. Por tanto, sabemos que para valores diferentes a esos, el rango de A, y el de A ampliada, ascienden a 3. Esto quiere decir que se cortan en un punto, tal y como viene esquematizado en la siguiente imagen. 

Para m=1, tanto el rango de A como el de A ampliada, dan 1, lo que significa que estamos ante planos coincidentes. 

Por otro lado, para m=-2, el rango de A es 2, y el de A ampliada, 3. Son incompatibles. Sin embargo, al ser 3 planos, no sabremos si se cortarán dos a dos, si serán los tres paralelos, o si dos de ellos son paralelos y hay uno que los corta. Por eso, los estudiamos 2 a 2, y el resultado es que los planos se van cortando 2 a 2. 

7. UN PROBLEMA.

El enunciado del problema dice lo siguiente:

"Los 30 alumnos de un grupo de 4º de ESO cursan tres asignaturas optativas distintas: Francés, Cultura Clásica, y Energías Alternativas. Si dos alumnos de Francés se hubieran matriculado en Cultura Clásica, entonces estas dos asignaturas tendrían el mismo número de alumnos. Si dos alumnos de Cultura Clásica se hubiesen matriculado en Energías Alternativas, entonces Energías Alternativas tendría el doble número de alumnos que Cultura Clásica. Halla el número de alumnos matriculados en cada asignatura."

(Explicación tras la imagen)

EXPLICACIÓN.

Tras releer varias veces el enunciado, pasamos a escribirnos un par de datos. Nunca hay que empezar a operar o a hacer un sistema sin previamente dejar claro el significado de las incógnitas y ponernos alguna que otra ayuda que nos será útil para la resolución del ejercicio.

Nada más comenzar a leer el enunciado, nos percatamos de que nos hablan de un número total de alumnos, que será 30. Para cada asignatura optativa, pondremos una incógnita distinta. En mi caso, he indicado "x" para el número de alumnos de Francés, "y" para el número de alumnos de Cultura Clásica, y "z" para el número de alumnos de Energías Alternativas. 

Ahora, indicamos las condiciones que nos dan. 

La primera condición nos dice "Si dos alumnos de Francés se hubiesen matriculado en CC, entonces estas dos, tendrán el mismo número de alumnos." Nos están dando una igualdad. Palabras clave: si d
os alumnos, mismo número de alumnos. Lo que nos quieren decir es que si ponemos dos alumnos de Francés en Cultura Clásica, puesto que en ningún momento se nos indica que pueden cursar dos asignaturas a la vez, hay 2 alumnos que se van de Francés y 2 alumnos que se suman a la asignatura de cultura Clásica. De esta forma, tenemos que x-2=y+2.

La segunda condición, por otro lado, nos indica: "Si dos alumnos de Cultura Clásica se hubiesen matriculado en Energías Alternativas, entonces Energías Alternativas tendría el doble número de alumnos que Cultura Clásica". Aquí estamos quitando 2 alumnos de Cultura Clásica para meterlos en Energías Alternativas. Pero eso no es todo, además, si restamos 2 alumnos de Cultura Clásica, y se los sumamos a los de Energías alternativas, Energías Alternativas tiene 2 veces más alumnos que cultura clásica. Para que los dos sean iguales, los alumnos de Cultura Clásica (y-2), deberán multiplicarse por 2. Esto puede no verse a primera vista, y de hecho, nos suele confundir bastante a los alumnos. Pongamos un ejemplo más sencillo con eso del doble:
4 es el doble de 2. Por lo tanto, para que se cumpla una igualdad entre ambos, tendremos que poner que 2*2=4.

Si en el problema pusiéramos el 2 multiplicando a las Energías Alternativas, sería igual de absurdo que poner que 2= 4*2. No es una igualdad cierta.

Por tanto, nos queda la segunda condición de la siguiente forma: 2(y-2)=(2+z).

Con las dos condiciones y con la que nos dan al principio, x+y+z=30, constituimos un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas. Resolvemos mediante Gauss y despejamos x y z.

6. SISTEMA HOMOGÉNEO II.

Ya hemos visto previamente cómo se resuelven los sistemas homogéneos, así que no será tan difícil resolver este: 

El enunciado nos indica lo siguiente:

"Con el siguiente sistema homogéneo de ecuaciones, determina el valor o valores del parámetro "a", para que el sistema tenga soluciones distintas de la trivial, y después, resuelve el sistema para el valor o valores de "a" hallados en el apartado anterior."

ESTE EJERCICIO ESTA MAL 

*Hoy hemos corregido el ejercicio que expongo aquí y me he dado cuenta de que hay algunas cosas mal, o que se podrían hacer de otra manera*

Corrección: Parece ser que no me he parado a leer el problema dos veces, de ahí la importancia que hay que darle al entendimiento de lo que nos pide el ejercicio. En el primer apartado, donde se nos requiere hallar soluciones DISTINTAS a la trivial, tan solo he puesto cuándo la solución es trivial. La solución es trivial cuando"a" no toma el valor ni de 0, ni de -1/4. Pero la verdadera respuesta sería que el sistema da una solución distinta de la trivial cuando "a" toma alguno de esos valores, o los dos. Podríamos haber hecho el apartado b en el a para calcular ese sistema.

Además, para a=-1/4, cuando estamos realizando Gauss, sería preciso eliminar las fracciones para que fuese más fácil de operar. 

En el caso de haber operado con fracciones como he hecho en este ejercicio, debería haber simplificado ese -3/4 y 1/2 que salen al final del proceso de Gauss Jordan en esta matriz.  

EXPLICACIÓN. 

Apartado a. 

¿Cuándo un sistema tiene soluciones triviales? Se puede dar en dos ocasiones. La primera, será cuando estemos ante un sistema compatible determinado y tengamos el mismo número de incógnitas que el número de rango de la matriz. Es decir, recordemos que para que un sistema sea compatible determinado, r=n= en este caso, 3. 

Si hallamos el determinante de la matriz A, y como previamente hemos asegurado el rango 2 para esa matriz, entonces encontraremos el número que anula ese determinante, el número que no le deja ascender a rango 3, y, por tanto, el que va a hacernos llegar a la siguiente conclusión:

Como hemos averiguado los valores de "a" que anulan el determinante, que son 0 y -1/4, y, por tanto los valores con los que rgA no asciende a 3 para tener un sistema compatible determinado, la solución trivial será cuando a sea distinto tanto de 0 como de  -1/4, pues, en los sistemas homogéneos, la solución del sistema compatible determinado, es la solución nula o trivial. 

Y además, la segunda manera de obtener esa solución trivial, es dándole el valor 0 al parámetro que sacaremos en el siguiente apartado, cuando el sistema es compatible indeterminado. 

Apartado b. 

Resolvemos el sistema para a= 0 y a=-1/4. Mediante Gauss, vemos, tanto para un valor como para el otro, que se suprime una de las filas. Por ello, ambos son sistemas compatibles indeterminados, para los cuales se buscará un parámetro  se sustituye en las ecuaciones que quedan en cada una de las matrices. 

5. MATRIZ INVERSA. ECUACIONES MATRICIALES II.

El enunciado de este ejercicio dice lo siguiente: 

"Con estas matrices, calcula, si existe, la matriz inversa de B, y además, sabiendo que A*B=B*A y A+A(t)=3*I2, calcula x e y. "

El enunciado parece que asusta con el segundo apartado, pero en realidad es mucho más fácil de lo que podemos pensar en un principio. 

(Explicación tras el archivo).

EXPLICACIÓN. 

Apartado a.

¿Cuándo tiene inversa una matriz? Es crucial fijarse en la fórmula de la matriz inversa, en la cual se divide la traspuesta de la adjunta de la matriz B entre el determinante de B. 

Recordemos que en cualquier división, un número entre 0, no existe. Por eso, la matriz inversa solo puede existir si su determinante es un número distinto de 0. 

Solo hace falta calcular el determinante para asegurarnos de que da un número distinto de 0. 

Concluimos que la inversa de B sí que existe porque su determinante es -2. Por lo tanto, aplicamos la fórmula y resolvemos para obtener dicha matriz inversa. 

Apartado b. 

Primero vemos qué ocurre si operamos según nuestra primera ecuación: A*B=B*A. Quiere decir que A y B son conmutativas; las matrices no son conmutativas a menos que se indique en el enunciado como se da aquí el caso. 

Multiplicando e igualando las matrices obtenidas, observamos que la incógnita "y", da como resultado, 0. 

Hacemos lo mismo con la segunda ecuación, A+A(t)=3I2. (I2 quiere decir que nuestra matriz identidad es de orden 2). El resultado es x= 3/2. 

Por lo tanto, x=3/2, e y=0. 

4. ECUACIÓN MATRICIAL.

El enunciado dice lo siguiente: 

"Calcular la matriz P que verifica B*P-A=C(t)" 

(Explicación tras la imagen)

EXPLICACIÓN. 

Como se indica en el archivo adjunto, daremos comienzo calculando el producto B*P. 

P no es una matriz que me ofrezcan como dato del problema, por eso mismo es la que requieren. Hacemos un supuesto en el que pondremos incógnitas en los valores que corresponden a la matriz P. 

Es muy importante darse cuenta de que la matriz P será de orden 2x3, pues, si fuera del mismo tipo que B, sería imposible llevar a cabo la operación con A como nos pide nuestra ecuación. (B*P-A). No podemos restar una matriz con otra si no son del mismo orden. Además, al realizar la trasposición de la matriz C, también se nos queda una matriz 2x3, lo que lo convierte en otra razón por la cual, la diferencia de la matriz B*P-A, deberá ser también una matriz 2x3.

Una vez hemos conseguido el producto precedentemente mencionado, 

(RECORDATORIO: MULTIPLICACIÓN DE MATRICES: Para multiplicar matrices, se debe cumplir la condición de que la primera matriz tiene que tener el mismo número de columnas que la segunda matriz de filas. Se van multiplicando los términos de la primera fila de la primera matriz con los de la primera columna de la segunda matriz. Es decir: B11*P11+ B12*P21, lo que correspondería al término X11 de la nueva matriz obtenida) ,

pasamos a restar la matiz que hemos conseguido con la matriz A. A todo ese conjunto le ponemos un nombre, por ejemplo, D, para no confundirnos tanto.

Hacemos la matriz traspuesta de C 

(RECORDATORIO: TRASPUESTA DE UNA MATRIZ. Lo que debemos hacer para conseguir una matriz traspuesta, es mover las filas en posición de columnas y viceversa. Es decir, si yo tengo una matriz 2x2, por ejemplo, el término A12 pasará a ponerse por debajo del A11, con lo que pasaría de ser el segundo término de la primera fila, a ser el primer término de la segunda fila, y segundo de la primera columna.)

Después de tener C traspuesta, la igualamos a nuestra matriz D, que era B*P-A. Lo que hacemos ahora es ir construyendo sistemas de dos incógnitas por cada columna. De esta forma, nos quedan 3 sistemas, dentro de los cuales, cada ecuación se igualará a su valor correspondiente en C traspuesta. 

3. POTENCIA DE UNA MATRIZ.

Este es un ejercicio muy típico de EvAU, en el cual el objetivo es calcular la potencia de una matriz. 

El enunciado es muy breve, se nos ofrece una determinada matriz y  debemos hallar A^(2004).

(Explicación tras la muestra gráfica). 

EXPLICACIÓN. 

Tal y como podemos observar, lo primero que hacemos en un ejercicio de este tipo es calcular A^2.
El resultado de multiplicar A*A es la matriz identidad. Debemos seguir multiplicando hasta encontrar nuestra matriz original.
Como toda matriz multiplicada por la matriz identidad es igual a ella misma, hemos encontrado A en A^3. Véase aquí:

A^2=A*A= I. 

A^3= A^2*A= I*A=A

Esto quiere decir, que de dos en dos se va repitiendo nuestra matriz A. Por lo tanto, no se emplea para la siguiente operación el número a partir del cual encontramos nuestra matriz original, sino el anterior a este. En este caso, sería el 2.
Procedemos a dividir el exponente que nos piden en el enunciado entre el número que acabo de indicar, el 2.
2004:2= 1002. El resto da 0. Lo importante aquí es fijarnos en el resto, pues, en caso de que este hubiera sido 1 y no 0, la matriz A^2004 sería igual que la matriz A(^1). Pero como en este caso el resto es 0, nos quedamos en el número anterior al que da A. Es decir, de nuevo, cogeremos A^2.
Por consiguiente, concluimos que nuestra matriz A^2004 será igual a A^2, que es la matriz identidad.

2. Sistema lineal. SCI.

A continuación, otro ejercicio de sistema lineal; no obstante, aquí ya no se trata de un sistema homogéneo, por lo que habrá que resolver también los valores para A*. Se ofrece una explicación detallada tras el ejercicio: 

EXPLICACIÓN

Comenzaremos confirmando el rg 1 para A y A*, cogiendo un elemento no nulo de la matriz. Haremos lo mismo para confirmar el rango 2, explicada la forma de hacerlo en el ejercicio anterior. 

Después de ello, hallaremos el valor del parámetro "a", realizando, mediante la regla de Sarrus, el determinante de la matriz A. Resolvemos y lo que obtenemos es que a=8. Por lo tanto, podemos concluir que, como el valor de 8 anula la matriz, si "a" es un número distinto de 8, el rango de A, será 3. 

Pero ¿qué ocurre si a=8? No podemos confirmar que el rango sea 2 sin ni siquiera comprobarlo; es por ello que realizamos Gauss, de manera que en este caso, efectivamente el rango sí es 2. 

Pero esto únicamente vale para la matriz A.

Para A*, con a=8, lo que tendremos que hacer serán menores para ver si hay alguno que no dé 0 mediante la regla de Sarrus, porque en caso de que diese no nulo, el rango ascendería a 3. 

En la imagen, en el primer menor se ha suprimido la segunda columna, en el segundo, la primera, y en el tercero, la tercera. Sería una pérdida de tiempo suprimir la columna cuarta, pues en ese caso estaríamos ante la matriz A, para lo cual sabemos que el 8 la anula. Todos esos menores de orden 3x3 dan como resultado 0, por tanto, el rango de A* cuando a=8, es 2, valor que coincide con el rango de A, y que hace que sea, según el Teorema de Rouché-Fröbenius, un sistema compatible indeterminado, con 1 parámetro debido a la diferencia entre el número de incógnitas y el valor del rango. 

En el caso de que "a" fuera distinto de 8, el rango de A* sería 3, que coincidiría con el rango de A. Como 3 es el número de incógnitas también, de acuerdo con el Teorema de Rouché-Fröbenius, será un sistema compatible determinado, con una solución única que dependerá del valor que se le dé al parámetro. Una vez tengamos un valor cualquiera que nos pidan en un ejercicio, podremos resolverlo mediante la regla de Cramer, la cual se explicará en otro ejercicio. 

Siguiendo la dinámica del previo ejercicio para un sistema compatible indeterminado, tendremos como propósito hallar un parámetro y encontrar la solución de dicho sistema. 

Como se observa en el ejemplo, acudimos a Gauss para triangular a ceros, y, una vez que conseguimos toda nuestra fila de abajo nula, procederemos a multiplicar los valores de la segunda línea con x, y,z, según corresponda. En este caso, tendremos que -3y-z=-2. Introducimos un parámetro para y, λ. Despejamos z tras haber sustituido en la ecuación el parámetro que hemos metido, y nos quedará lo siguiente: z=-3λ+2. Más tarde, multiplicaremos la primera columna por x,y,z, y tendremos esto: x+y+z=2, que, sustituido por nuestro parámetro y por el valor que hemos sacado de z, será: x+λ +2 (-3λ+2)=2. Despejando, obtenemos que x=5λ-2.

Por tanto, nuestro resultado será: (x,y,z)= (5λ -2, λ, -3λ+2).

No olvidar poder un ejemplo.

1. Sistema lineal homogéneo. Matrices, determinantes.

El primer ejercicio que añadiré al blog, consistirá en la resolución de un sistema lineal homogéneo, cuya característica principal es tener la columna de término independiente totalmente nula. Esto significa que todos los valores de (A) serán los mismos para (A*), y que siempre existirá una solución trivial; es decir: (x,y,z)=(0,0,0).

A continuación adjunto las fotos con el ejercicio mencionado, tras las cuales se ofrece una explicación detallada del proceso. 

EXPLICACIÓN. 

Comenzaremos confirmando el rango 1, pues es posible coger un término no nulo, como podría ser el 1, el -2, el -3 y el 2. 

Posteriormente, procederemos a confirmar el rango 2, cogiendo 4 elementos en total, de manera que los términos de la primera fila de la matriz que estamos constituyendo, deben ser cogidos de una misma fila en la matriz principal, y pasará lo mismo con las columnas. De esta forma, como se ve en la imagen, se pueden coger los números  F1(-2 1) y F2 ( -3 1). No hay ninguna otra posible combinación en la que no aparezca el parámetro "a".

NOTA: Recordemos que al confirmar el rango de A, también estamos confirmando el de A*.

Pasaremos a tratar de confirmar el rango 3, y para ello, mediante la regla de Sarrus, haremos el determinante de A, con el propósito de hallar para qué valor o valores la "a" anula dicho determinante. 

Una vez resuelto, obtenemos que a=7 y que a=1. Por lo tanto, siempre que no sea ninguno de esos dos valores, el rango de A, y, por consiguiente, el de A*, ascenderá a ser 3. En este caso, podemos afirmar, mediante el Teorema de Rouché-Fröbenius, que estamos ante un sistema compatible determinado, pues el número de incógnitas (n) coincide con el valor del rango (r). Aquí encontraremos la solución trivial (x,y,z)=(0,0,0). 

Ahora, ¿qué ocurre cuando "a" es igual a 7? Mediante Gauss, triangulamos la matriz hasta que finalmente conseguimos averiguar que el rg A=2. Asimismo, el rg A* será 2 también porque recordemos que estamos ante un sistema homogéneo. 

Como r=2 y el número de incógnitas es 3, según el Teorema de Rouché-Fröbenius, se trata de un sistema compatible indeterminado. Ante este tipo de sistemas, se debe calcular un parámetro y en este caso habrá uno, porque el número de parámetros obtenidos corresponde a la diferencia del número de incógnitas y el rango. 

Puesto que ya habíamos realizado Gauss para saber qué rango tenemos, nos hemos quedado en el último paso, en el cual la última fila es nula. Lo que se hace ahora es coger los elementos de la segunda columna y multiplicarlos por x, y, z. De esta manera obtenemos

que 17y+z=0. Introducimos un parámetro, como puede ser λ para "y". Posteriormente, se queda la ecuación de la siguiente manera: 17λ+z=0. Se despeja z para poder introducir ese valor en la ecuación que dará la primera línea. Es decir, z=-17λ, y la ecuación de la primera fila será: 7x+λ-2(-17λ)=0. Despejamos x: x=-5λ.

Ya tenemos el resultado, (x,y,z)= (-5λ, λ, -17λ). Tras hallar esto, se introduce un ejemplo dándole un valor cualquiera a λ.




No obstante, 7 no es el único valor para el que se anula "a". Tenemos además, a=1, para lo cual se va a llevar a cabo el mismo procedimiento que el anterior, de manera que finalmente tenemos que, al despejar cada una de las ecuaciones con el parámetro introducido, que en este caso hemos escrito λ también; quedan todas con el mismo valor, dando como resultado (x,y,z)= (λ,λ,λ).

pD: No olvidar poner ejemplos tras resolver los sistemas.

Nota de la autora.

¿Alguna vez te has parado a pensar en cuánto de nuestra vida cotidiana tiene en su trasfondo una relación con las matemáticas? Las Matemáticas son, de hecho, a grandes rasgos, un croquis parcial del mundo, creadas por el ser humano a su medida. Su dinámica interna, la lógica de su estructura caracterizada como simple, clara y tersa, la convierten en un modelo de reflexión fiable que provoca una curiosidad innata para aquellos que se sumergen desde lo más mínimo en ella. Abarcan tanto que, actualmente, acciones tan frecuentes como extraer dinero de un cajero, o comprar una bebida en una máquina expendedora, no sería posible si no hubiera detrás un soporte mecánico que hiciera factible su uso. 

En este blog mi principal propósito será exponer resoluciones de algunos ejercicios estudiados en el curso de 2º de Bachillerato, así como algunas explicaciones detalladas de los mismos. 

Un saludo.