6. SISTEMA HOMOGÉNEO II.

Ya hemos visto previamente cómo se resuelven los sistemas homogéneos, así que no será tan difícil resolver este: 

El enunciado nos indica lo siguiente:

"Con el siguiente sistema homogéneo de ecuaciones, determina el valor o valores del parámetro "a", para que el sistema tenga soluciones distintas de la trivial, y después, resuelve el sistema para el valor o valores de "a" hallados en el apartado anterior."

ESTE EJERCICIO ESTA MAL 

*Hoy hemos corregido el ejercicio que expongo aquí y me he dado cuenta de que hay algunas cosas mal, o que se podrían hacer de otra manera*

Corrección: Parece ser que no me he parado a leer el problema dos veces, de ahí la importancia que hay que darle al entendimiento de lo que nos pide el ejercicio. En el primer apartado, donde se nos requiere hallar soluciones DISTINTAS a la trivial, tan solo he puesto cuándo la solución es trivial. La solución es trivial cuando"a" no toma el valor ni de 0, ni de -1/4. Pero la verdadera respuesta sería que el sistema da una solución distinta de la trivial cuando "a" toma alguno de esos valores, o los dos. Podríamos haber hecho el apartado b en el a para calcular ese sistema.

Además, para a=-1/4, cuando estamos realizando Gauss, sería preciso eliminar las fracciones para que fuese más fácil de operar. 

En el caso de haber operado con fracciones como he hecho en este ejercicio, debería haber simplificado ese -3/4 y 1/2 que salen al final del proceso de Gauss Jordan en esta matriz.  

EXPLICACIÓN. 

Apartado a. 

¿Cuándo un sistema tiene soluciones triviales? Se puede dar en dos ocasiones. La primera, será cuando estemos ante un sistema compatible determinado y tengamos el mismo número de incógnitas que el número de rango de la matriz. Es decir, recordemos que para que un sistema sea compatible determinado, r=n= en este caso, 3. 

Si hallamos el determinante de la matriz A, y como previamente hemos asegurado el rango 2 para esa matriz, entonces encontraremos el número que anula ese determinante, el número que no le deja ascender a rango 3, y, por tanto, el que va a hacernos llegar a la siguiente conclusión:

Como hemos averiguado los valores de "a" que anulan el determinante, que son 0 y -1/4, y, por tanto los valores con los que rgA no asciende a 3 para tener un sistema compatible determinado, la solución trivial será cuando a sea distinto tanto de 0 como de  -1/4, pues, en los sistemas homogéneos, la solución del sistema compatible determinado, es la solución nula o trivial. 

Y además, la segunda manera de obtener esa solución trivial, es dándole el valor 0 al parámetro que sacaremos en el siguiente apartado, cuando el sistema es compatible indeterminado. 

Apartado b. 

Resolvemos el sistema para a= 0 y a=-1/4. Mediante Gauss, vemos, tanto para un valor como para el otro, que se suprime una de las filas. Por ello, ambos son sistemas compatibles indeterminados, para los cuales se buscará un parámetro  se sustituye en las ecuaciones que quedan en cada una de las matrices.