1. Sistema lineal homogéneo. Matrices, determinantes.

El primer ejercicio que añadiré al blog, consistirá en la resolución de un sistema lineal homogéneo, cuya característica principal es tener la columna de término independiente totalmente nula. Esto significa que todos los valores de (A) serán los mismos para (A*), y que siempre existirá una solución trivial; es decir: (x,y,z)=(0,0,0).

A continuación adjunto las fotos con el ejercicio mencionado, tras las cuales se ofrece una explicación detallada del proceso. 

EXPLICACIÓN. 

Comenzaremos confirmando el rango 1, pues es posible coger un término no nulo, como podría ser el 1, el -2, el -3 y el 2. 

Posteriormente, procederemos a confirmar el rango 2, cogiendo 4 elementos en total, de manera que los términos de la primera fila de la matriz que estamos constituyendo, deben ser cogidos de una misma fila en la matriz principal, y pasará lo mismo con las columnas. De esta forma, como se ve en la imagen, se pueden coger los números  F1(-2 1) y F2 ( -3 1). No hay ninguna otra posible combinación en la que no aparezca el parámetro "a".

NOTA: Recordemos que al confirmar el rango de A, también estamos confirmando el de A*.

Pasaremos a tratar de confirmar el rango 3, y para ello, mediante la regla de Sarrus, haremos el determinante de A, con el propósito de hallar para qué valor o valores la "a" anula dicho determinante. 

Una vez resuelto, obtenemos que a=7 y que a=1. Por lo tanto, siempre que no sea ninguno de esos dos valores, el rango de A, y, por consiguiente, el de A*, ascenderá a ser 3. En este caso, podemos afirmar, mediante el Teorema de Rouché-Fröbenius, que estamos ante un sistema compatible determinado, pues el número de incógnitas (n) coincide con el valor del rango (r). Aquí encontraremos la solución trivial (x,y,z)=(0,0,0). 

Ahora, ¿qué ocurre cuando "a" es igual a 7? Mediante Gauss, triangulamos la matriz hasta que finalmente conseguimos averiguar que el rg A=2. Asimismo, el rg A* será 2 también porque recordemos que estamos ante un sistema homogéneo. 

Como r=2 y el número de incógnitas es 3, según el Teorema de Rouché-Fröbenius, se trata de un sistema compatible indeterminado. Ante este tipo de sistemas, se debe calcular un parámetro y en este caso habrá uno, porque el número de parámetros obtenidos corresponde a la diferencia del número de incógnitas y el rango. 

Puesto que ya habíamos realizado Gauss para saber qué rango tenemos, nos hemos quedado en el último paso, en el cual la última fila es nula. Lo que se hace ahora es coger los elementos de la segunda columna y multiplicarlos por x, y, z. De esta manera obtenemos

que 17y+z=0. Introducimos un parámetro, como puede ser λ para "y". Posteriormente, se queda la ecuación de la siguiente manera: 17λ+z=0. Se despeja z para poder introducir ese valor en la ecuación que dará la primera línea. Es decir, z=-17λ, y la ecuación de la primera fila será: 7x+λ-2(-17λ)=0. Despejamos x: x=-5λ.

Ya tenemos el resultado, (x,y,z)= (-5λ, λ, -17λ). Tras hallar esto, se introduce un ejemplo dándole un valor cualquiera a λ.




No obstante, 7 no es el único valor para el que se anula "a". Tenemos además, a=1, para lo cual se va a llevar a cabo el mismo procedimiento que el anterior, de manera que finalmente tenemos que, al despejar cada una de las ecuaciones con el parámetro introducido, que en este caso hemos escrito λ también; quedan todas con el mismo valor, dando como resultado (x,y,z)= (λ,λ,λ).

pD: No olvidar poner ejemplos tras resolver los sistemas.