3. POTENCIA DE UNA MATRIZ.

Este es un ejercicio muy típico de EvAU, en el cual el objetivo es calcular la potencia de una matriz. 

El enunciado es muy breve, se nos ofrece una determinada matriz y  debemos hallar A^(2004).

(Explicación tras la muestra gráfica). 

EXPLICACIÓN. 

Tal y como podemos observar, lo primero que hacemos en un ejercicio de este tipo es calcular A^2.
El resultado de multiplicar A*A es la matriz identidad. Debemos seguir multiplicando hasta encontrar nuestra matriz original.
Como toda matriz multiplicada por la matriz identidad es igual a ella misma, hemos encontrado A en A^3. Véase aquí:

A^2=A*A= I. 

A^3= A^2*A= I*A=A

Esto quiere decir, que de dos en dos se va repitiendo nuestra matriz A. Por lo tanto, no se emplea para la siguiente operación el número a partir del cual encontramos nuestra matriz original, sino el anterior a este. En este caso, sería el 2.
Procedemos a dividir el exponente que nos piden en el enunciado entre el número que acabo de indicar, el 2.
2004:2= 1002. El resto da 0. Lo importante aquí es fijarnos en el resto, pues, en caso de que este hubiera sido 1 y no 0, la matriz A^2004 sería igual que la matriz A(^1). Pero como en este caso el resto es 0, nos quedamos en el número anterior al que da A. Es decir, de nuevo, cogeremos A^2.
Por consiguiente, concluimos que nuestra matriz A^2004 será igual a A^2, que es la matriz identidad.