2. Sistema lineal. SCI.

A continuación, otro ejercicio de sistema lineal; no obstante, aquí ya no se trata de un sistema homogéneo, por lo que habrá que resolver también los valores para A*. Se ofrece una explicación detallada tras el ejercicio: 

EXPLICACIÓN

Comenzaremos confirmando el rg 1 para A y A*, cogiendo un elemento no nulo de la matriz. Haremos lo mismo para confirmar el rango 2, explicada la forma de hacerlo en el ejercicio anterior. 

Después de ello, hallaremos el valor del parámetro "a", realizando, mediante la regla de Sarrus, el determinante de la matriz A. Resolvemos y lo que obtenemos es que a=8. Por lo tanto, podemos concluir que, como el valor de 8 anula la matriz, si "a" es un número distinto de 8, el rango de A, será 3. 

Pero ¿qué ocurre si a=8? No podemos confirmar que el rango sea 2 sin ni siquiera comprobarlo; es por ello que realizamos Gauss, de manera que en este caso, efectivamente el rango sí es 2. 

Pero esto únicamente vale para la matriz A.

Para A*, con a=8, lo que tendremos que hacer serán menores para ver si hay alguno que no dé 0 mediante la regla de Sarrus, porque en caso de que diese no nulo, el rango ascendería a 3. 

En la imagen, en el primer menor se ha suprimido la segunda columna, en el segundo, la primera, y en el tercero, la tercera. Sería una pérdida de tiempo suprimir la columna cuarta, pues en ese caso estaríamos ante la matriz A, para lo cual sabemos que el 8 la anula. Todos esos menores de orden 3x3 dan como resultado 0, por tanto, el rango de A* cuando a=8, es 2, valor que coincide con el rango de A, y que hace que sea, según el Teorema de Rouché-Fröbenius, un sistema compatible indeterminado, con 1 parámetro debido a la diferencia entre el número de incógnitas y el valor del rango. 

En el caso de que "a" fuera distinto de 8, el rango de A* sería 3, que coincidiría con el rango de A. Como 3 es el número de incógnitas también, de acuerdo con el Teorema de Rouché-Fröbenius, será un sistema compatible determinado, con una solución única que dependerá del valor que se le dé al parámetro. Una vez tengamos un valor cualquiera que nos pidan en un ejercicio, podremos resolverlo mediante la regla de Cramer, la cual se explicará en otro ejercicio. 

Siguiendo la dinámica del previo ejercicio para un sistema compatible indeterminado, tendremos como propósito hallar un parámetro y encontrar la solución de dicho sistema. 

Como se observa en el ejemplo, acudimos a Gauss para triangular a ceros, y, una vez que conseguimos toda nuestra fila de abajo nula, procederemos a multiplicar los valores de la segunda línea con x, y,z, según corresponda. En este caso, tendremos que -3y-z=-2. Introducimos un parámetro para y, λ. Despejamos z tras haber sustituido en la ecuación el parámetro que hemos metido, y nos quedará lo siguiente: z=-3λ+2. Más tarde, multiplicaremos la primera columna por x,y,z, y tendremos esto: x+y+z=2, que, sustituido por nuestro parámetro y por el valor que hemos sacado de z, será: x+λ +2 (-3λ+2)=2. Despejando, obtenemos que x=5λ-2.

Por tanto, nuestro resultado será: (x,y,z)= (5λ -2, λ, -3λ+2).

No olvidar poder un ejemplo.