G. EJ 4. ÁNGULO ENTRE UNA RECTA Y UN PLANO.

En el ejercicio que se nos ofrece, debemos calcular el ángulo entre unos elementos espaciales. El primer paso es determinar cuáles son dichos elementos. Estamos ante una recta que viene dada por dos ecuaciones y un parámetro, y un plano. Realizamos un dibujo esquemático de la situación (A PESAR DE QUE AÚN NO SABEMOS QUÉ POSICIÓN TIENEN EN EL ESPACIO). Para poder hallar el ángulo entre ambos elementos, lo que debemos hacer es calcular el vector normal del plano, es decir, el vector perpendicular a él, pues,a partir de ese vector, y con el vector director de la recta r, podremos saber el valor del ángulo beta. El ángulo beta es es que está entre el vector director de la recta y el vector normal del plano. No es el que queremos. Queremos el ángulo entre la recta y el plano, al que denominaremos ángulo alfa. No obstante, para obtener el ángulo alfa, tendremos que restar 90º(Que es el ángulo entre el vector normal y el plano, por definición) al resultado del ángulo beta. 

El vector normal se halla a partir de la ecuación del plano, pues corresponde a los valores de A, B, y C. 

El vector director, lo encontramos con las ecuaciones de la recta. Al estar con una forma implícita, no podemos saber cuál es el valor de dicho vector. Es por esto que debemos calcular la ecuación paramétrica, cuyos valores del parámetro "t" nos darán el valor del vector director. 

Una vez tenemos ambos vectores, se procede a realizar el producto escalar entre ambos, para buscar qué ángulo (beta) forman entre los dos. 

Al despejar beta del producto vectorial, nos da como resultado 90º. ¿Qué quiere decir esto? Significa que el valor del ángulo que está entre el vector normal del plano a la recta, son 90º. El vector normal también está a 90º del plano, por eso, el ángulo alfa, que es lo que nos pide el ejercicio, será 0. 

G.EJ3. POSICIÓN RELATIVA DE DOS PLANOS.

Como vemos, en este ejercicio se nos pide calcular la posición relativa entre esos planos. Resolvemos la matriz que queda con las ecuaciones de los tres planos por el método de Gauss. El resultado que obtenemos es de un sistema incompatible debido a que A y A* dan un resultado diferente, siendo 2 y 3, respectivamente. Debemos estudiar ahora los planos 2 a 2 para saber de qué manera se cortan entre ellos o si no lo hacen.

El resultado es que los planos 1 y 2 se cortan, al igual que los planos 1 y 3. No obstante, los planos 2 y 3 no se cortan entre sí. Veamos una representación gráfica, tras la imagen adjunta, con el programa "Geogebra". 

REPRESENTACIÓN GRÁFICA. GEOGEBRA.

G. EJ2. POSICIÓN RELATIVA DE DOS RECTAS.

Para la facilitación de la visualización de la posición relativa de las rectas que se exponen a continuación, se ha empleado el programa "Geogebra".
Una recta viene definida por dos ecuaciones con las cuales, al resolverse, se obtiene un parámetro. Siempre será sistema compatible indeterminado y por lo tanto su rango no podrá descender de 2.
Debemos resolver la matriz que viene dada por las 4 ecuaciones de las 2 rectas.
Al ser el rango de A distinto al de A ampliada, nos encontramos ante un caso de paralelismo. Recordemos aquí los casos posibles que hay:

1. Rg A=2; RgA*=3. Las rectas son paralelas. 
2. Rg A=3; RgA*=4. Las rectas son paralelas pero se cruzan en el espacio. 

Como vemos, es el segundo caso. Veamos cómo quedan representadas. 

(En la imagen aparece parte de otro ejercicio, pero no hagáis caso a ello, en el siguiente apartado lo pondré.)

Debido a que es más cómodo introducir en Geogebra las ecuaciones en forma continua, calcularemos la ecuación continua de ambas rectas:

REPRESENTACIÓN GRÁFICA. GEOGEBRA.

GEOMETRÍA. POSICIONES RELATIVAS.

En este ejercicio, calculamos la posición relativa de los planos para los diferentes valores del parámetro "m". Para ello, debemos calcular primero para qué valores de m se anula el determinante. Como observamos, son 1 y -2. Por tanto, sabemos que para valores diferentes a esos, el rango de A, y el de A ampliada, ascienden a 3. Esto quiere decir que se cortan en un punto, tal y como viene esquematizado en la siguiente imagen. 

Para m=1, tanto el rango de A como el de A ampliada, dan 1, lo que significa que estamos ante planos coincidentes. 

Por otro lado, para m=-2, el rango de A es 2, y el de A ampliada, 3. Son incompatibles. Sin embargo, al ser 3 planos, no sabremos si se cortarán dos a dos, si serán los tres paralelos, o si dos de ellos son paralelos y hay uno que los corta. Por eso, los estudiamos 2 a 2, y el resultado es que los planos se van cortando 2 a 2.