AN. Ej6. FUNCIONES II. Valor absoluto.

Esta función cuenta de nuevo con un valor absoluto, así que consideraremos tanto la opción de que x sea un número positivo, como de que sea uno negativo. Recordemos que podemos cambiar el signo del numerador o del denominador en caso de que x sea menor que 0. Si x es un número mayor o igual que 0, no habrá necesidad de cambiar el signo. 

En ambas partes, por dominio, podríamos determinar que x=2 sería un problema. Sin embargo, no cumple la primera condición de x<0, pero sí cumple la segunda, pues 2>/=0.

Estudiamos entonces la función para x=2 y x=0, esta última por salto de función. Vemos que, como para x=2, va a más y menos infinito, hay una asíntota vertical. Comprobación del límite por Symbolab: 

 (Sé que la imagen es muy pequeña, pero he tratado de recortarla varias veces con el ordenador para ampliarla y se me ha hecho imposible).

Comprobaremos después si hay asíntotas horizontales, haciendo el límite, tanto para x->+ infinity como para x-> -infinity. Como es una función a trozos, cuando x tiende a menos infinito, haremos el límite del trozo cuya condición es que x sea menor que 0. Cuando x tiende a más infinito, haremos el límite del que cumple la condición de que x>/=0. En ambos casos se obtiene un resultado, teniendo una asíntota horizontal por la izquierda para y=-1 y una asíntota horizontal por la derecha en y=1. 

Finalmente, estudiaremos la monotonía, haciendo la primera derivada de la función, y dibujándonos al lado la recta real con los intervalos a estudiar. 

Un punto del primer intervalo, que va desde -infinity hasta 0, se sustituirá en la primera derivada del primer trozo de esta función, consiguiendo un signo positivo, por lo que crece. 

En cambio, los puntos de los intervalos que van desde 0 a 2 y de 2 a +infinity, serán sustituidos en la primera derivada del segundo trozo de la función, es decir, la que está definida para números mayores o iguales a 0. Para ambos casos la función decrece, habiendo un máximo relativo en x=0. 

Representación gráfica mediante Geogebra: