En este ejercicio, se nos pide hallar el valor de los parámetros a y b para que la función dada sea continua para todos los números de la recta real.
Lo que llama la atención de esta función es que en las condiciones hay valores absolutos. Como se ha indicado en otro ejercicio de análisis, debemos considerar, por un lado, que x sea positiva, que según al primera inecuación (encuadrada de rojo) dará un número menos o igual que 3. En cambio, si x fuera un número negativo menor o igual que 3, buscaremos convertir a x en un valor positivo, por tanto, según las reglas de las inecuaciones, para cambiar el signo de x y el de -3, debemos cambiar asimismo el sentido de la inecuación. Nos queda x>/= -3. Si representamos estos valores en la recta real, veremos que hay un intervalo que coincide en ambas condiciones, así que podemos condensarlo de la siguiente manera: -3</=x</=3.
En el recuadro verde procederemos de la misma forma, de modo que si x es un valor positivo, se quedará como x>3. En cambio, cuando x es un valor negativo, -x>3, cambiamos el signo de x para que sea positivo, haciendo variar también el de 3 y cambiando el sentido de la inecuación, x<-3. Si representamos ambos intervalos en la recta real, no podemos encontrar una parte común, así que se quedan como están.
Lo siguiente que haremos será "ordenar" la función. Hemos obtenido las siguientes condiciones: si -3</=x</=3, si x<3, y si x<-3. Las ordenamos como irían en la recta real quedando como se muesra en el ejercicio.
Los puntos a estudiar para la continuidad, según el salto de función, serían -3, y 3. Sin embargo, en aquellos sitios e los que haya una fracción, también se debería considerar el 0, pero como donde hay fracciones las condiciones dadas no incluyen el 0, no hace falta estudiarlo.
Hacemos f(-3) y sus límites laterales, y, además, como la condición del ejercicio es que sea continua, igualaremos f(-3) a los límites laterales.
Haremos lo mismo para x=3, y hacemos un sistema de ecuaciones que nos permite sacar los parámetros.
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