INTEGRALES. Potenciales,logarítmicas,exponenciales.

                                                                                             

¡Y vamos con las integrales! Iré poniendo primero las más fáciles, las "inmediatas", y poco a poco se subirá la dificultad. 

Pero antes de nada, ¿qué es una integral? 

La integral definida es un concepto utilizado para determinar el valor de las áreas limitadas por curvas y rectas. Dado el intervalo [a, b] en el que, para cada uno de sus puntos x, se define una función f(x) que es mayor o igual que 0 en [a,b], la integral definida de la función entre los puntos a y b es el área de la porción del plano que está delimitada por: la función, el eje horizontal OX y las rectas verticales de ecuaciones x=a y x=b.
Sin embargo, la integral indefinida, de la cual vamos a ver multitud de ejemplos a continuación, es el conjunto de infinitas primitivas que puede tener una función, y se representa por: ∫ f(x) dx y su resultado da: F(x) + C. 

Además, cabe determinar que una integral permite restituir una función que ha sido previamente derivada. Por ello, si al calcular una integral quisiéramos comprobar que la hemos realizado correctamente, bastaría con derivar el resultado obtenido y verificar que sea el mismo que la integral que nos dan en el enunciado. 

Así pues, pasemos a operar. A continuación, las integrales inmediatas de tipo "Potencial", "logarítmico" y "exponencial". 

DE TIPO POTENCIAL. 

Como podemos ver en la formula que aparece en la parte superior del folio, en las integrales de tipo potencial simple tan solo habrá que elevar a un número más (n+1) a la variable x.

Las números que aparecen acompañando a dicha variable (como, por ejemplo, en el apartado b) se sacan y ocupan el mismo lugar que ocupaban dentro de la integral (es decir, si es una fracción, se saca tal cual). Sin embargo, a la hora de que tengamos que introducir nosotros una constante, esta se manifestará fuera de la integral como su inversa (es decir, si quiero meter un 8 dentro de la integral, fuera quedará como 1/8).

La integral potencial compuesta no difiere demasiado. En ella, lo único distinto que encontramos es que es una función la que está elevada a algo, mientras que en las simples solo era la x la que estaba elevada. En las compuestas lo primero que debemos hacer es localizar f(x), y esto lo conseguiremos observando primero cuál es la función que está elevada a algún número, seguido de la comprobación de que tenemos multiplicando a dicha función f(x) su derivada. Solo habrá que introducir constantes, pues bajo ningún concepto se podrán añadir variables.

INTEGRALES DE TIPO LOGARÍTMICO. 

Estas integrales son sencillas de ver, pues en el denominador encontramos f(x) y en el numerador su derivada. Sin embargo, muchas veces puede venir camuflada, de formas que hagan que nos confundamos o que no sepamos qué hacer, como en el ejemplo "g". En este ejemplo, en concreto, al igual que hemos hecho en el "n", al ver ese actgx o arcsenx, ya sabemos que la derivada de ellos debe ser una fracción, por lo que colocaremos la integral de manera que el denominador sea la función que arriba tenga su derivada. 

NOTA: A veces, las potenciales y las logarítmicas, a simple vista, se pueden confundir. Esto es porque podemos encontrar una integral que tenga en el denominador una raíz y en el numerador su derivada. No nos dejemos engañar. La función raíz sube al numerador con un signo "-"  con lo que se evidenciará que se trata de una potencial, no una logarítmica. Ahora sería normal preguntarse "¿entonces, por qué no puedo hacer lo mismo con todas las que parecen logarítmicas? La respuesta es sencilla, si subimos una función que está elevada a 1, quedaría como -1, y de acuerdo a la regla de las potenciales, a "n", que sería -1, habría que sumarle 1, por lo que el resultado sería 0 y no nos daría el verdadero resultado de la integral. 

INTEGRALES DE TIPO EXPONENCIAL. 

Las integrales de tipo exponencial son las más fáciles de identificar, ya que tenemos, o bien "e" elevado a una función, o un número elevado a una función. 

En el primer caso, solo habrá que localizar esa función que acompaña a "e " y la correspondiente derivada de dicha función, introduciendo o sacando constantes según se dé el caso. El resultado será esa misma "e^f(X)" junto con la variación de constantes y +K.

En el segundo caso, el de un número (base) elevado a una función, además de ajustar las constantes, también se tendrá que buscar el ln de la base. 

BIBLIOGRAFÍA. (definición de integral)
http://www.hiru.eus/es/matematicas/la-integral-definida