INTEGRALES. Racionales, arcotangente, arcoseno.

INTEGRALES RACIONALES. 

Debemos tener cuidado a la hora de pensar que estamos ante una integral racional, así como destacar la importancia de tenerlas en cuenta en todo momento (a mí, en concreto siempre se me olvidan que están ahí y pienso que es cualquier cosa menos una racional). 

En todo caso, si estamos pensando en que lo que estamos viendo es una integral racional, esta podrá aparecer de varias maneras:

1. El polinomio del numerador es de mayor o igual grado que el del denominador. En este caso, se deberán dividir ambos polinomios. Un ejemplo de ello lo podemos encontrar en los apartados c y h aquí adjuntos, en la segunda hoja. Como podemos observar, tras dividir numerador entre denominador, el resultado quedará como una suma de integrales: en la primera integral constará el cociente, y en la segunda el resto entre el dividendo. La integral que obtenemos del cociente suele ser de las más sencillas, por lo que su resultado se puede saber directamente. En el caso de "c" tenemos como cociente "1" y en "h" será "8x", siendo el resultado de su integración "x" y "(8x^2)/2", respectivamente. No obstante, en la otra integral que nos queda, resto entre dividendo, obtenemos un numerador de menor grado que el denominador.Aún así seguirá siendo racional, y se procederá de la misma manera que si en la integral del enunciado nos diesen un polinomio de menor grado dividido entre otro de mayor grado. 
2. Por esto, será la otra forma en la que puede aparecer una racional. Cuando el polinomio del denominador tiene un grado mayor que el del numerador, lo que haremos será factorizar este primero, de modo que la integral se pueda dividir en la suma de tantas integrales como resultados de x haya. Es decir, si tengo x=2 y x=-2 (ejemplo "b"), la integral se dividirá en la suma de 2 integrales, cada una con un resultado de x que se pondrá en el denominador. En los numeradores pondremos las incógnitas A,B,C,D, etc. Aquí es importante tener en cuenta varios factores: 

       - Si tenemos una raíz real simple (RRS), se procederá como se acaba de explicar. 

      -Sin embargo, si tenemos una raíz real múltiple (RRM) (ejemplo "a"), la integral será igual a la suma de tantas integrales como x haya, pero como se repite un número, en el caso presentado, el x=-3, la primera integral que aparezca como x+3 aparecerá elevada a 1, y la siguiente será (x+3)^2. Si tuviéramos un número que se repitiese tres veces, como por ejemplo el x=4, en la primera integral aparecería con su denominador como (x-4)^1, la segunda, (x-4)^2, y la tercera, (x-4)^3.

        - Por otro lado, también podemos encontrarnos con el caso de una raíz imaginaria, es decir, lo que hemos puesto siempre como "no existe", lo que haremos será, como en el caso "j", añadir ese polinomio sin descomponer. En esta situación tenemos (x^2)-4, por lo que al igualar la integral inicial a la suma de integrales, nos encontramos con que ese (x^2)-4 sigue intacto en el denominador, y además, en su numerador, añadiremos una x, teniendo Cx+D. 

Tras haber igualado la integral inicial a la suma de integrales, procederemos a hacer el mínimo común múltiplo entre esas sumas. De esta forma, el numerador de la primera integral quedará igualado a los numeradores de las sumas de integrales ajustados tras hacer el mínimo común múltiplo. Llegados a este punto, empezaremos a sustituir valores de "x" (a ser posible, los que anulen alguna de las raíces para poder despejar alguna de las incógnitas) y obtenemos los resultados de A, B, C, D... 

Ahora lo que haremos será irnos a nuestra integral inicial e igualarla de nuevo a esa suma de integrales, pero esta vez con todas las incógnitas encontradas. Se nos quedarán probablemente integrales logarítmicas o de tipo arcotangente, que veremos a continuación. 

DE TIPO ARCOTANGENTE. 

Las integrales de tipo arcotangente que podemos encontrar pueden venir camufladas de varias maneras. Están las que son más fáciles de ver, como las que presento en las siguientes tres primeras hojas. En ellas solo debemos ver que en el denominador queremos la expresión de (1+ algo^2), por lo que haremos los ajustes que sean necesarios para llegar a ello. En los ejercicios de la primera hoja ni siquiera hay que realizar dichos ajustes, pues ya prácticamente tenemos la forma que queremos. Pero muy pocas veces(y me atrevería a decir ninguna) nos pondrán en un examen algo así. Es fundamental que recordemos que todo aquello que queremos sacar de la integral sale TAL CUAL. Es decir, como en las de tipo arcotangente lo que solemos hacer es sacar factor común en el denominador para tener ese "1+..", saldrá fuera de la integral como denominador de una fracción. 

.

Sin embargo, aunque sigamos teniendo casos como estos en los apartados "v" y "x" (4º hoja), a primera vista nos pueden asustar un poco. Recordemos que cuanto más "fea" parezca una integral por fuera, resulta ser de las más fáciles. Y en efecto, al final nos damos cuenta de que tenemos en la propia integral la derivada de la secante (en v) y la derivada de la cosecante (en x). 

NOTA: Los asteriscos (o,t) en esta última hoja indican que no se pueden resolver, pues la variable x no coincide con la de la derivada de f(x).

Por otro lado, además, nos podemos cruzar con aquellas integrales que miramos y decimos "esta es racional" cuando en realidad hablamos de una arcotangente. Es el caso de los apartados "p", "q", y "r". En ellos, procederemos de la siguiente manera (mucha atención aquí):

1.  Multiplicamos numerador y denominador por "4*a" (Recordemos esta expresión: ax^2+bx+c)
2. El numerador lo sacamos fuera de la integral, y en el denominador, sin realizar las operaciones, iremos multiplicando esa expresión 4*a por cada uno de los componentes del polinomio. 
3. Ahora intentaremos "buscar el cuadrado". Recordemos que para que sea arcotangente necesitamos ese "algo" elevado al cuadrado, que será una suma. Todos conocemos (o al menos deberíamos conocer) lo de "Suma de binomios es igual al cuadrado del primero más el cuadrado del segundo más el doble del primero por el segundo".  
4. Buscando el cuadrado: Del primer sumando de lo que queda tras multiplicar 4*a por el polinomio extraemos sus cuadrados, es decir, si tenemos 4x^2, sacamos 2x. Ese será nuestro primer componente de la suma al cuadrado. Lo sumamos a una incógnita "b", con lo que queda como "(2x+b)^2. Para hallar "b", pasaremos al siguiente sumando, en el cual tendremos que encontrar la expresión "más el doble del primero por el segundo", es decir, con el ejemplo dado, tendremos que encontrar 2*2*x*b. Como vemos en "p", tenemos 4*10*x, establecemos la siguiente relación : 2*2=4, x=x, y, por tanto, b=10. En el caso de que no encontremos b de manera explícita, será igual a 1. Además, ahora lo que tendremos que hacer será seguir con ese cuadrado, por lo que nos falta "el cuadrado del segundo", es decir, el cuadrado del número que hemos obtenido. Como es algo que "nos inventamos", algo que no estaba en la integral y lo añadimos nosotros porque es necesario, y es un sumando, pondremos al lado el mismo valor restando. Osea, si b=10, pondremos al lado +100 -100. El +100 pertenece al cuadrado de la suma que estábamos buscando, pero, ¿y el -100?: El -100 se juntará con el resultado que dé ese tercer sumando que se obtenía cuando multiplicábamos 4*a por el polinomio. ATENCIÓN: El resultado de ese -100 con lo dicho deberá ser un número positivo.
5. Ya tendríamos una forma de arcotangente que sí sabríamos resolver sacando factor común y haciendo el mismo proceso que se ha explicado antes.

DE TIPO ARCOSENO. 

Las integrales de tipo arcoseno tienen un procedimiento muy similar a las de tipo arcotangente, pero en este caso buscaremos en el denominador la expresión de "sqrt(1-algo^2)". Es por esto que cuando queremos sacar factor común, sale fuera de la integral como denominador en forma de raíz de una fracción. De nuevo, podemos hallar tanto casos sencillos como aquellos en los que solo debemos sacar factor y elevar al cuadrado lo que va después del "1-...", como casos en los que debemos buscar el cuadrado. Hablemos de estos últimos. 

A veces encontramos el polinomio completo, como es en el apartado "e". Para resolverlo, dejaremos "c" (ax^2 + bx+c) fuera de ese paréntesis que nos servirá para poner ahora "el cuadrado de la resta de binomios". Así, el 9 queda fuera con un - tras de él para que "a" se quede positiva y tengamos (ax-b)^2. Multiplicamos numerador  denominador por sqrt(4*|a|). Cuando hayamos hecho todo eso, buscamos el cuadrado (ver arriba cómo se hace, es de la misma manera), y ya solo quedaría sacar factor común y ajustar el cuadrado con el número que hemos sacado de factor común introducido en la expresión. 

Otras veces, no obstante, no tenemos el polinomio completo, sino que tenemos en el denominador, por ejemplo, sqrt(x-5x^2). No debemos asustarnos, el procedimiento será el mismo, solo que cuando saquemos el - para tener el x^2 positivo, no habrá ningún número delante, pero al final quedará ese "cuadrado del segundo" que deberemos introducir para poder completar esa resta al cuadrado. 

PD: Estos ejercicios los hice cuando estaba estudiando para el primer parcial en el que nos examinamos de integrales, y corrigiéndolos ahora me he dado cuenta de muchos fallos, por lo que están prácticamente todos pasados por mi vista actual. Sin embargo, sé que puede haber aún un montón de fallos así que si alguien encuentra alguno no me sorprendería