INTEGRALES. SUSTITUCIÓN.

INTEGRALES POR SUSTITUCIÓN. 

Aquí tenemos a las integrales que más nos asustan. Es importante practicar todo lo que podamos, pues tenemos métodos para resolverlas que se suelen repetir con frecuencia. En esta entrada lo que haremos será analizar las integrales por sustitución más típicas, o que sirven de modelo para otras muy parecidas.

Antes de arriesgarnos a decir que estamos ante una integral que se resuelve por sustitución, tendremos que haber descartado todas las demás posibilidades. De no ser así, podríamos enredar mucho el problema. 

1. En el caso 3, la pista que nos indicará que puede tratarse de una sustitución es esa raíz con la x. En esta situación, x será sustituida por "t" elevado a aquel número que nos permita sacarla de la raíz. Como aquí tenemos una raíz cuadrada, será t^2. Es importante deshacer el cambio para dar la solución definitiva de la integral. 
2. En el caso 4, lo que igualaremos a t será e^x. Después de simplificar, vemos que es una racional. La resolvemos y finalmente deshacemos el cambio. 
3. El caso 5 es un poco distinto. Cuando encontramos razones trigonométricas, debemos tener muy presentes todas las fórmulas en relación que podamos. Comenzaremos desglosando lo que viene dentro de la integral, de manera que nos queda sen^2x*senx*cos^2x. Como tenemos senx, que es la derivada del cosx, será sen^2x quien sustituiremos por 1-cos^2x (de acuerdo a la igualdad sen^2x*cos^2x=1 ). A continuación, iremos multiplicando poco a poco lo que queda, y finalmente, por las propiedades de las integrales, separamos en dos integrales inmediatas. 

4. El caso 6 también es especial porque tenemos una fórmula en concreto para poder resolverlo; cuando tengamos sqrt(c-ax^2), sustituiremos x por x=sqrt(c/a)*sent. NOTA: Nunca olvidaremos que dx también tiene que ser sustituido, y para saber cuál es su valor, debemos, tras despejar "x", derivar, tanto en el lado de x como en el lado de t, despejando dx. En este tipo de integrales, debemos buscar la expresión sqrt(1-sen^2t). Por eso, sacamos de factor común el 3 y fuera de la integral sqrt3. 

5. Estos dos casos son realmente parecidos, y se pueden llevar a cabo por partes. (Ir a la siguiente entrada para entenderlo):

6. Aquí será relevante emplear las fórmulas del coseno del ángulo doble, así como la igualdad fundamental de la trigonometría (cos^2x+sen^2x=1). Sustituimos en la ecuación del coseno del ángulo doble, o bien el seno, o bien el coseno, porque en este caso ambos van a ser necesarios. Una vez hemos despejado, nos percatamos de que estamos ante una "suma por diferencia", por lo que se resolverá haciendo la suma de sus cuadrados. Como es una suma, por las propiedades de las integrales, se puede dividir en dos integrales distintas que se suman. De esta manera quedan como integrales inmediatas.

7. El caso 14 también requiere de fórmulas trigonométricas, y se aplicará aquella que aparece a continuación enmarcada en rojo, pues estamos multiplicando el coseno de un ángulo por el coseno de otro. Solo debemos seguir esa fórmula y, si sabemos hacer todo lo que se ha indicado hasta ahora, no habrá problemas en su resolución.

8. El caso 13 es prácticamente igual que el que he indicado en el punto 6. Sin embargo, aquí el senx está elevado a 4. Seguiremos el mismo protocolo. Sin embargo, aquí deberemos resolver el cuadrado que queda y además, quedará una suma más larga de integrales, pero el método es exactamente el mismo.

9. El caso 15 es igual que el 14, solo que esta vez es con senx. Seguiremos la fórmula marcada en rojo, separamos la integral en suma de integrales, y resolveremos estas, que son inmediatas.

10. Para nuestra sorpresa en el caso 16 encontramos una logarítmica, pues aunque a primera vista no se diferencie muy bien, si desarrollamos el seno de un ángulo doble, y hacemos la derivada del denominador, veremos que solo nos falta un -8 que podemos ajustar. (NOTA: Hay un error, en este ejercicio f(x)= 9-4cos^2x. Añadir ese 9-... no influye en el resultado, pero está mal decir que la función prescinde de esa parte, y queda contradictorio porque luego en el resultado sí ponemos ese 9-...).

10. El 17 es prácticamente igual que el primer caso que hemos hecho, y vemos con qué valor de "t" podríamos sacarla de la raíz. En caso de tener varias raíces, como está pasando ahora, haremos el mínimo común múltiplo entre todas ellas. Aquí será 4. Nos queda una integral racional que ya sabemos resolver. (Mira mi entrada "In. Racionales, arcotangentes, arcosenos" si no sabes resolverla).

11. Con las integrales como la que aparece en el caso 21 debemos de ser algo perspicaces. Muchas veces, pensamos que es una integral que se resuelve por sustitución y lo cierto es que podría ser una integral inmediata exponencial. Dan el mismo resultado, pero el tiempo que se emplea en una y en otra es muy valioso y útil para realizar otros ejercicios. Sin embargo, no podemos decir que este caso sea uno de ellos, pues si derivamos el denominador, lo que tendríamos que tener en el numerador sería 3^x*ln3*1, y tenemos ese 9^x que nos daría problemas. Es por eso que usaremos la táctica de la sustitución, y t=3^x. Si nos fijamos, la sustitución que hemos hecho es la misma que la que hicimos en el segundo caso, igualando a "t"directamente una parte de la integral. Esto también podrá suceder cuando tengamos: lnx, logax, arcsenx y arctgx.

12. De nuevo, en el caso 22, lo que haremos será igualar "t" a 5^x. Recordemos que el ln de un número, es una constante que se puede sacar de la integral, y que si tenemos t*(...), en realidad esa t es una (t+0) que funciona como una raíz. Como aquí lo que tenemos es t^2, en la primera división tendremos A/t, y en la segunda, B/t^2. Resolvemos como sabemos las racionales, y deshacemos el cambio.