AN. Ej6. FUNCIONES II. Valor absoluto.

Esta función cuenta de nuevo con un valor absoluto, así que consideraremos tanto la opción de que x sea un número positivo, como de que sea uno negativo. Recordemos que podemos cambiar el signo del numerador o del denominador en caso de que x sea menor que 0. Si x es un número mayor o igual que 0, no habrá necesidad de cambiar el signo. 

En ambas partes, por dominio, podríamos determinar que x=2 sería un problema. Sin embargo, no cumple la primera condición de x<0, pero sí cumple la segunda, pues 2>/=0.

Estudiamos entonces la función para x=2 y x=0, esta última por salto de función. Vemos que, como para x=2, va a más y menos infinito, hay una asíntota vertical. Comprobación del límite por Symbolab: 

 (Sé que la imagen es muy pequeña, pero he tratado de recortarla varias veces con el ordenador para ampliarla y se me ha hecho imposible).

Comprobaremos después si hay asíntotas horizontales, haciendo el límite, tanto para x->+ infinity como para x-> -infinity. Como es una función a trozos, cuando x tiende a menos infinito, haremos el límite del trozo cuya condición es que x sea menor que 0. Cuando x tiende a más infinito, haremos el límite del que cumple la condición de que x>/=0. En ambos casos se obtiene un resultado, teniendo una asíntota horizontal por la izquierda para y=-1 y una asíntota horizontal por la derecha en y=1. 

Finalmente, estudiaremos la monotonía, haciendo la primera derivada de la función, y dibujándonos al lado la recta real con los intervalos a estudiar. 

Un punto del primer intervalo, que va desde -infinity hasta 0, se sustituirá en la primera derivada del primer trozo de esta función, consiguiendo un signo positivo, por lo que crece. 

En cambio, los puntos de los intervalos que van desde 0 a 2 y de 2 a +infinity, serán sustituidos en la primera derivada del segundo trozo de la función, es decir, la que está definida para números mayores o iguales a 0. Para ambos casos la función decrece, habiendo un máximo relativo en x=0. 

Representación gráfica mediante Geogebra:

AN.Ej5. FUNCIONES I.

 La función que se nos presenta es una muy sencilla de tipo polinómica, cuyo dominio serán todos los números de la recta real, por ello será continua, y no tendrá asíntotas verticales. Tampoco las habrá horizontales porque deberíamos hacer el límite de esa función cuando tiende a infinito, y el resultado nos daría también infinito. 

Estudiamos la monotonía, haciendo la primera derivada de la función. Despejando x, obtendremos los valores que serán posibles candidatos para ser máximos y mínimos. Realizamos una tabla con los intervalos que proporcionan los puntos sacados de esa primera derivada, y sustituimos valores que se encuentren entre dichos intervalos.Si el signo que sale de sustituir un punto de ese intervalo en la primera derivada de la función, es positivo, quiere decir que la función está creciendo. Si sale negativo, es que decrece. Como se ve aquí, crece en el intervalo de (-infinity, 0], y  en el de (2,+infinity), mientras que decrece en el de (0,2]. Con esta tabla ya podríamos saber si disponemos de máximos y mínimos, pero conviene formalizarlo y escribirlo en forma de segunda derivada, sustituyendo en ella aquellos candidatos que se han mencionado antes. Si el resultado obtenido es menor que 0, significa que en ese punto habrá un máximo, y si el resultado es mayor que 0, significará que hay un mínimo.  

Una representación gráfica con Geogebra: 

AN. EJ4. CONTINUIDAD Y VALOR ABSOLUTO II.

En este ejercicio, se nos pide hallar el valor de los parámetros a y b para que la función dada sea continua para todos los números de la recta real. 

Lo que llama la atención de esta función es que en las condiciones hay valores absolutos. Como se ha indicado en otro ejercicio de análisis, debemos considerar, por un lado, que x sea positiva, que según al primera inecuación (encuadrada de rojo) dará un número menos o igual que 3. En cambio, si x fuera un número negativo menor o igual que 3, buscaremos convertir a x en un valor positivo, por tanto, según las reglas de las inecuaciones, para cambiar el signo de x y el de -3, debemos cambiar asimismo el sentido de la inecuación. Nos queda x>/= -3. Si representamos estos valores en la recta real, veremos que hay un intervalo que coincide en ambas condiciones, así que podemos condensarlo de la siguiente manera: -3</=x</=3. 

En el recuadro verde procederemos de la misma forma, de modo que si x es un valor positivo, se quedará como x>3. En cambio, cuando x es un valor negativo, -x>3, cambiamos el signo de x para que sea positivo, haciendo variar también el de 3 y cambiando el sentido de la inecuación, x<-3. Si representamos ambos intervalos en la recta real, no podemos encontrar una parte común, así que se quedan como están.

Lo siguiente que haremos será "ordenar" la función. Hemos obtenido las siguientes condiciones: si -3</=x</=3, si x<3, y si x<-3. Las ordenamos como irían en la recta real quedando como se muesra en el ejercicio. 

Los puntos a estudiar para la continuidad, según el salto de función, serían -3, y 3. Sin embargo, en aquellos sitios e los que haya una fracción, también se debería considerar el 0, pero como donde hay fracciones las condiciones dadas no incluyen el 0, no hace falta estudiarlo. 

Hacemos f(-3) y sus límites laterales, y, además, como la condición del ejercicio es que sea continua, igualaremos f(-3) a los límites laterales. 

Haremos lo mismo para x=3, y hacemos un sistema de ecuaciones que nos permite sacar los parámetros. 

AN.Ej3. CONTINUIDAD.

En este ejercicio haremos un estudio de la continuidad. Una función es continua si su gráfica puede dibujarse de un solo trazo. 

Como estamos ante una función racional, su continuidad vendrá determinada por el Dominio. Vemos así para qué valores de x se anula el denominador, y estudiamos la función en cada uno de esos puntos y sus límites laterales. 

Para x=0, f(0) no existe al sustituir el valor en la función, mientras que los límites laterales, como es una indeterminación 0/0 y podemos factorizar y simplificar obtenemos, en ambos casos, -1/2. Se trata de una discontinuidad evitable. 

En el caso de x=1, pasa lo mismo. 

Sin embargo, para x=2 lo que tenemos es que los límites laterales van hacia +infinity y -infinity, por lo que tendremos, para ese valor, una asíntota vertical. 

Gracias al programa de Geogebra podemos representar la función, en la que se distingue claramente la asíntota vertical en x=2. 

AN.Ej2. VALOR ABSOLUTO EN UN LÍMITE.

Cuando encontremos un valor absoluto, lo primero que debemos hacer es comprobar para qué valor aquello que está dentro nos daría un número negativo, porque precisamente la condición de valor absoluto implica que el resultado que se obtenga, sea el número que sea, dé positivo. Como este límite es de tipo k/0 y para resolverse debemos estudiar los límites laterales, cuando 2 viene por la izquierda quiere decir que es un número un poco más pequeño que 2, es decir, 1.9. Si sustituimos el valor de 1.9 en las barras de valor absoluto, se puede ver que dará un número menor que 0, (1.9-2=-01). Como da un resultado negativo y no queremos eso, cambiaremos el signo o bien del numerador, o bien del denominador. En este caso he cambiado el del denominador. De esta forma, el valor de 2-x para cuando 2 tiende hacia la izquierda, dará un resultado positivo, tal y como se buscaba. 

Cuando 2 tiende hacia la derecha, cogeremos un número algo mayor que 2, como 2.1. Debido a que al sustituir 2.1 en el valor de x del valor absoluto obtenemos un número positivo, no tendremos que cambiar ningún signo.  

CÁLCULO DE UN LÍMITE.

 Empezamos con el bloque de Análisis.
A continuación, haremos el siguiente límite:

Como se puede observar, al sustituir el valor de x =1 en el límite, obtenemos un tipo de indeterminación: 0/0. Las dos maneras prototípicas de resolver este tipo de límites, son dos: 

1. Factorizando numerador y denominador y simplificando. 

2. Aplicando L-Hôpital; que consiste en derivar tanto el numerador como el denominador, pero no como un cociente, sino cada uno por su lado. 

Llevando a cabo la forma 2, derivamos, por un lado el numerador, siendo la derivada de una constante, 0, y la derivada del coseno, -sen (como está multiplicado a una constante esta se deja tal cual). Por otra parte, derivamos el denominador, que, al ser una raíz cuadrada pondremos como potencia para que, al derivar, el exponente multiplique a la base y se le reste 1 unidad a su valor. 

Comprobamos los resultados con el programa Mathics, aunque también podemos emplear Wolframalpha o Symbolab.